تكامل \( \sec^3 x \)

الاشتقاق خطوة بخطوة باستخدام التكامل بالأجزاء والمتطابقات المثلثية، الصيغة، والمراجع

الاشتقاق والتقييم

تُستخدم طريقة التكامل بالأجزاء لإيجاد التكامل:

\[ \int \sec^3 x \, dx \]

صيغة التكامل بالأجزاء مُعطاة كما يلي:

\[ \int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx \]

ليكن \( v = \sec x \) و \( u' = \sec^2 x \)؛ ومن ثُمَّ \( u = \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x \) و \( v' = \sec x \tan x \). بتطبيق ذلك:

\[ \begin{aligned} \int \sec^3 x \, dx &= \int \sec^2 x \cdot \sec x \, dx \\[6pt] &= \tan x \sec x - \int \tan x \sec x \cdot \tan x \, dx \\[6pt] &= \tan x \sec x - \int \tan^2 x \sec x \, dx \qquad (I) \end{aligned} \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) لإعادة كتابة التكامل:

\[ \begin{aligned} \int \tan^2 x \sec x \, dx &= \int (\sec^2 x - 1)\sec x \, dx \\[6pt] &= \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx \end{aligned} \]

عوض بذلك مرة أخرى في المعادلة (I):

\[ \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x - \left( \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx \right) \] \[ \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x \, dx \]

أضف \( \displaystyle \int \sec^3 x \, dx \) إلى كلا طرفي المعادلة وبسط:

\[ 2 \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x + \int \sec x \, dx \]

استخدم صيغة التكامل القياسية \( \displaystyle \int \sec x \, dx = \ln|\tan x + \sec x| \):

\[ 2 \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x + \ln|\tan x + \sec x| \]

بقسمة جميع الحدود على \( 2 \) وإضافة ثابت التكامل \( c \)، نحصل على الإجابة النهائية:

صيغة التكامل لـ \( \sec^3 x \):
\[ \int \sec^3 x \, dx = \dfrac{1}{2} \left( \tan x \sec x + \ln|\tan x + \sec x| \right) + c \]

المزيد من المراجع والروابط

  1. جدول صيغ التكامل
  2. University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  3. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  4. Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8